描述：笛卡尔我思故我在原文 1、“我思故我在”的最后一次出场，是在1644年的《哲学原理》中。我们今天常说的“我思故我在”就源于笛卡尔这里的表述，不过笛卡尔自己的写法是egocogito
1、“我思故我在”的最后一次出场，是在1644年的《哲学原理》中。我们今天常说的“我思故我在”就源于笛卡尔这里的表述，不过笛卡尔自己的写法是egocogito,ergosum。由于拉丁文中的人称代词是可以省略的，所以我们现在流行的表述是 cogito,ergosum。我们来看完整的段落：“由于我们拒绝了一切哪怕丝毫可怀疑的东西，将其认定为错误的，于是我们可以轻易假定，不存在上帝、天空和身体；我们自己既没有手足，也根本没有身体；但我们不能假定，我们，如此思考的我们，是无；因为思考者在它思考的时刻不存在，这是一个矛盾。因此，‘我思故我在’的认识，在一切认识中是最初的、最确然的，它出现于某种合乎秩序的哲学思考中。”笛卡尔在这里用的是“反证法”，假设我不存在，那么我就无法思考，这与“我思”的前提是矛盾的，因此，“我在”可以从“我思”之中推出。
2、笛卡尔把几何问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法。为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图。
3、我不是在怀疑一切东西的存在吗？那么“我怀疑一切事物的存在”这件事至少是确定无疑存在的吧？你越怀疑世界的真实性，你越是不能否认你“正在怀疑”这件事！(笛卡尔我思故我在原文)。
4、22岁时，书中的知识已经无法满足笛卡尔的求知欲。经过一番思索，他开始到欧洲各地旅行，沿途留心观察各种事物，仔细地做笔记，并反复思考。
5、这件事使笛卡尔看到了自己的数学才能，并更加激起了他的研究热情。笛卡尔对贝克曼说道：“事实上，你是唯一把我从懒散的状态唤醒的人，唤醒了在我心中几乎已经被我完全遗忘了的科学兴趣。你把一个业已离开科学的心灵带回到最正当、最美好的路上。”后来，两位数学天才成为非常亲密的朋友。
6、如果把一元实系数多项式按降幂方式排列，则多项式的正根的个数要么等于相邻的非零系数的符号的变化次数，要么比它小2的倍数。如5,3,1或4,2,0。而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所得到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的倍数。(笛卡尔我思故我在原文)。
7、笛卡尔的结论是，身体是一个物质客体，由机械定律控制；而精神则是非物质的。他尽可能多地给身体分配精神活动。因此，他用感觉器官和神经来解释所有的感知、记忆、想象和常识活动，剩下的就是人类所特有的自我意识和语言，这些都属于精神的功能。
8、心脏线是外摆线的一种，其n为它亦可以极坐标的形式表示：r=1+cosθ
9、笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向。在他的著作《几何》中，笛卡尔将逻辑，几何，代数方法结合起来，通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到了一起，数轴是数和形的第一次接触。并向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质。笛卡尔引入了坐标系以及线段的运算概念。他创新地将几何图形‘转译’代数方程式，从而将几何问题以代数方法求解，这就是今日的“解析几何”或称“座标几何”。
10、“我思故我在”是笛卡尔《谈谈方法》的第四部分提到，“我思故我在”可精炼地理解为：当我使用理性来思考的时候，我才真正获得了存在的价值。
11、良知是世界上分配得最均匀的东西，因为每一个人都认为自己在这一方面有非常充分的禀赋，即便是那些在别的一切方面都极难满足的人，也不大会对自己在这一方面的禀赋不满足，做额外的要求。在这一点上，大概并不是人人都弄错了。这一点倒可以证明，那种正确地做判断和辨别真假的能力实际上也就是我们称之为良知或理性的那种东西，是人人天然的均等的，因此我们的意见之所以不同，并不是由于一些人所具有的理性比另一些人更多，而只是由于我们通过不同的途径来运用我们的思想，以及考察的不是同样的东西。因为单有良好的心智是不够的，主要在于正确地应用它。那些最伟大的心灵既可以做出最伟大的德行，也同样可以做出最重大的罪恶;那些只是极慢地前进的人，如果总是遵循着正确的道路，可以比那些奔跑着然而离开正确道路的人走在前面很多。
12、那么，笛卡尔讲的cogito，真的是一种完全可以脱离肉体独立存在的“灵魂”吗？好像又不是。他含含糊糊地说，cogito存在于人脑的松果腺(体)里。后世的不少心理学家，仍然按照笛卡尔的这一说法，对“灵魂”或“意识”或“思维”展开研究。罗素说，笛卡尔哲学“它完成了、或者说极近乎完成了由柏拉图开端而主要因为宗教上的理由经基督教哲学发展起来的精神、物质二元论”。笛卡尔提出精神界和物质界两个平行而彼此独立的世界，研究其中之一能够不牵涉另一个。那么，如果肉体感到渴的时候为什么精神觉得“难过”呢？《沉思录》中有不少议论——大意是说，肉体和精神好似两个钟，当一个钟指示出“渴”，另一个钟就指示出“难过”。其实，笛卡尔哲学在关于物质界的全部理论，是严格的机械唯物论——活的有机体完全和死物一样受物理定律支配。罗素说：“笛卡尔身上有着一种动摇不决的两面性：一面是他从当时代的科学学来的东西，另一面是拉夫赖士学校传授给他的经院哲学。这种两面性让他陷入自相矛盾，但是也使他富于丰硕的思想，非任何完全逻辑的哲学家所能及。自圆其说也许会让他仅仅成为一派新经院哲学的创始者，然而自相矛盾，倒把他造就成两个重要而背驰的哲学流派的源泉”——很高的评价。 (镜子自我认知实验，用以检查自我意识。黑猩猩通过镜子发现了自己头上的疤痕。但黑猩猩与人的区别在于，没有“社会洞察力”、没有心理理论、没有语言)
13、然而，精神必须存在某处，笛卡尔认为它存在于大脑深处的松果体中。如果它是无关紧要的，为什么到处都有它？它对物质的躯体是怎样产生影响的？它是怎么受到物质躯体的影响的？
14、笛卡尔的“Jepense,doncjesuis”(原文翻译为：我思知我在。拉丁文翻译为：我思故我在)是笛卡尔全部认识论哲学的起点，也是他“普遍怀疑”的终点。他从这一点出发确证了人类知识的合法性。
15、在此，我们主要集中于笛卡尔在《第一哲学沉思集》的第二沉思中对“我思”和“我在”的分析和论述。我们知道，在第一沉思中，笛卡尔提出了普遍怀疑的方法，这是一种彻底的、方法论上的怀疑。“彻底”体现在，除了极其明确无疑的东西以外，将一切都纳入怀疑的对象；“方法论”则体现在，怀疑不是最终目的，而是通达真理的方法和手段，只有将一切可疑的都排除了，才能最终发现无疑的东西。借此，笛卡尔首先将我们的感官纳入怀疑，其次是看似自明的数学定理，因为可以设想一个邪恶的神，它让我们认为，三角形的内角和是180度，但事实并非如此。只要我们能设想这样一个邪恶的神的存在，那么，这些定理或公理就是值得怀疑的。笛卡尔甚至设想，我们可能都生活在一个梦境中，因为我们无法区分梦和现实，凭什么可以认为，现实是真实的，而不是另一层梦境呢？
16、而系词含义是极其重要的，它表示将某些属性归之于「我这个东西」，这些属性例如非广延(无形体)，思考。其次再是「有某些属性的我这个东西」存在。这样，「我想，所以我是」的意思是，我是一个思考的东西，这样的我存在。
17、当我要怀疑思考是否存在的时候，我已经在思考了。我的否认恰恰已经证明了他的真实性。所以“思考使我存在”，怀疑论者的所有最狂妄的假定都无法把它推翻，于是我断定我能够毫不犹疑地承认它是我所探求的哲学中的第一原理。
18、然后，我就小心地考察我究竟是什么，发现我可以设想我没有身体，可以设想没有我所在的世界，也没有我所在的地点，但是我不能就此设想我不存在，相反地，正是从我想到怀疑一切其他事物的真实性这一点，可以非常明白、非常确定地推出:我是存在的;而另一方面，如果我一旦停止思想，则纵然我所想象的其余事物都真实地存在，我也没有任何理由相信我存在，由此我就认识到，我是一个实体，这个实体的全部本质或本性只是思想，它并不需要任何地点以便存在，也不依赖任何物质性的东西;因此这个“我”，亦即我赖以成为我的那个心灵，是与身体完全不同的，甚至比身体更容易认识，纵然身体并不存在，心灵也仍然不失其为心灵。
19、事实上我怀疑我所面临的一切。乃至怀疑天文和物理。甚至是几何和数学这样纯逻辑性的东西。因为我不能确认我在算一道2+3这样的数学题，或者当我数一个正文形有几条边的时候我不会算错。
20、一天，当时颇有名望的数学家贝克曼在城墙上贴了一道数学难题，悬赏征求答案。笛卡尔请人帮忙把题目的荷兰文翻译成法文，当时贝克曼满不在乎地瞧了一眼这位青年军官，他做梦也没有想到，两天之后笛卡尔交来了正确答案。
21、当感情只是劝咱们去做能够缓行的事的时候，应当克制自我不好立刻作出任何决定，用另一些思想使自我定务必神，直到时刻和休息使血液中的情绪完全安定下来。
22、我的精神一直在思考，梦中所见的一切也是思考的结果，所以我敢肯定当我沉睡时思考也从来没有停止。当我拿起一小块方形的蜂蜡，甜蜜的味道、花的香气、深黄色的软块，我敲着它，发出沉闷地声音。我几乎熟知它的一切。但是当我把他拿到炉火边时它开始融化。直至最终变成稠密的黄色液体。我才知道我之前所见的一切并非真实。
23、笛卡尔在科学上的贡献是多方面的。笛卡尔不仅在哲学领域里开辟了一条新的道路，同时笛卡尔又是一勇于探索的科学家，在物理学、生理学等领域都有值得称道的创见，特别是在数学上他创立了解析几何，从而打开了近代数学的大门，在科学史上具有划时代的意义。
24、法文原文「Je pense,donc je suis」(《谈谈方法》是笛卡尔第一本著作，用法文写成，并非拉丁文)，英文译作「I think, therefore I am」，拉丁文作「Ego cogito,ergo sum」。无论法文的suis、英文的be、拉丁文sum都包含着两个意思：
25、我们再来看cogito的内涵规定。上文指出，cogito本身的歧义对应于对“感知”的界定。“感知”究竟能不能算一种cogito?从狭义的cogito来看，“感知”和“思考”是对立的；而从广义的cogito来看，感知则是“思考”的一个环节，尽管是比较薄弱的一个环节。我们知道，“感知”是需要感官辅助的，也就是需要“身体”，因此，“感知”可以说既有身体的部分，也有精神的部分。与此相反，思考或理智直观则完全不需要身体，是纯粹精神的。而从笛卡尔的二元论来看，应该说，他的观点是，感知和思考是对立的。但是，对cogito使用的歧义也表明，笛卡尔在其“沉思”中，至少在沉思的最初阶段，并没有如此明确的二元论倾向。
26、在此值得注意的是对cogito一词的翻译。在一般的情形下，德译本将其翻译为Denken，亦即思考；但是，在有些地方，却将它译作“意识”(Bewusstsein)。 那么，为何会出现这种不明确的翻译？事实上，这也许由于笛卡尔使用这个词的多义。在一般的情形下，cogito是与感知、想象并列的，被译为“思考”；但是，在行文中，笛卡尔又使用了广义上的cogito，它包含了感知、想象和狭义上的“思考”。此后，cogito就被翻译为“意识”。在后一种情形下，感知、想象和理智直观的差别不是性质的差别，而只是程度的差别。它们分别是意识的某个部分，只不过理智直观要比感知和想象要更为“明白”。由此，笛卡尔也引入了判定真理的标准：清楚明白。
27、但女王的性情却有些怪诞，她每周要听3次课，而且必须在清晨5点。如此过了两个月，1650年2月1日，笛卡尔因为着凉患了感冒，很快又转成肺炎。10天后，笛卡尔便与世长辞了，享年54岁。
28、否定事物的发生是为了某种遥远的终极目的的认识
29、他认为天体的运动来源于惯性和某种宇宙物质旋涡对天体的压力，在各种大小不同的旋涡的中心必有某一天体，以这种假说来解释天体间的相互作用。笛卡儿的太阳起源的以太旋涡模型第一次依靠力学而不是神学，解释了天体、太阳、行星、卫星、彗星等的形成过程，比康德的星云说早一个世纪，是17世纪中最有权威的宇宙论。
30、该公式的内容为：在任意凸多面体，设V为顶点数，E为棱数，F是面数，则V−E+F=
31、这是具有局限性甚至是错误的！错误的理由是：在人类出现很久之前，生命就已经存在了。在演化的某个时刻，一个基本的意识出现了。有了这个基本的意识，就产生了一个简单的心智；如果心智的复杂性越来越高，思考出现的可能性也就越来越大，进而用语言来沟通和组织思维也成为可能。对于那时的我们来说，“存在”是先于“思考”而出现的。现在我们来到这个世界也是先存在，然后再思考，我们存在之后我们才能思考，我们思考只因我们存在，因为思考的确是由生物的结构和运作所引发的。
32、我在比较年轻的时候，在哲学的各个部门中学过一点逻辑，在数学的各个部门中学过一点几何学家们的分析和代数，这三种艺术或科学似乎应当对我的计划有所贡献。但是对它们一加考究，我便注意到，在逻辑方面，三段论以及大部分其他的逻辑规则都只能用来向别人说明已知的事物，即便像鲁勒的法则，也只能用来不加判断地讲不知道的东西，而不能用来求知这些东西;虽然在逻辑中事实上也包含着许多非常真并且非常好的规则，然而其中却也混杂着很多别的或者有害或者多余的东西，要想把它们分开来，简直和从一块未经雕琢的大理石里取出一尊狄雅娜或雅典娜的神像一样不易。至于古代人的分析和近代人的代数，除了都只研究一些非常抽象而且看来毫无用处的问题以外，前者始终局限于考察各种图形，因而在运用理智时不能不使想象力过于疲劳;在后者中又是这样使人受某些规则和某些数字的约束，以致人们由它造成了一种混乱、晦涩、淆乱心智的科学，而不是一种培养心智的科学。由于这个原因，我想应当去寻求另外一种包含这两门科学的好处而没有它们的缺点的方法。既然法律条文过多常常会使犯罪的人有所推托，因而一个国家如果法令很少而得到严格遵守，就可以治理得很好，所以我相信，不要那些数目很多的构成逻辑的规则，单有以下四条，只要我立下坚定持久的决心，决不要在任何时刻不去遵守它们，那就已经足够了。
33、笛卡儿叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡儿在1638年提出。
34、由此出发，海德格尔引出了一个核心概念：sub-iectum(主体、基底)。在此，笛卡尔所确立的基底就是作为cogitomecogitare的cogito，而它确保了真理的本质(现身)。Cogito首先是表象(vorstellen)、其次是投置(zustellen)，最后是确保(sicherstellen)。笛卡尔除了将存在规定为表象，还将真理规定为确保和确然性。而当存在与真理被局限在这个牢固的基础之上的时候，海德格尔所试图揭示的更为原初、更为开放的“存在”与“真理”就遗失了。
35、斯蒂芬·高克罗格的笛卡尔传记中写到，“他作为一个天主教徒有着很深的宗教信仰，并一直保持到他死的那一天，并带着坚定的，热情的探索真理的渴望。”在笛卡尔死于瑞典后，克里斯蒂娜女王放弃了她的王位转信罗马天主教(瑞典法律要求统治者是新教教徒)。她一直联系的仅有的天主教徒就是笛卡尔，他曾是她的个人家庭教师。
36、利用直线的点斜式方程，我们可以求出点( )处的切线方程：
37、这是一个人，而且是同一个人，他能意识到自己的理解和感觉。但人没有身体就没有感觉，所以身体必须是人的一部分。
38、水平和竖直切线：当 时，笛卡儿叶形线的切线是水平的。所以：
39、将所有问题解决后，再综合起来检验，看是否完全，是否将问题彻底解决了。
40、笛卡尔发现无论自己怎样怀疑，自己都会得出“我自己在怀疑”的结论，就算是自己怀疑“我在怀疑”本身，但我实际上仍在怀疑，即怀疑本身是不能被怀疑的。因此笛卡尔认为自己无法否认自己的存在，当自己本身思考时，自己就已经存在！”因为自己在思考怀疑，肯定有一个发出怀疑的思想者，因此“我”不容怀疑，我怀疑我自己所以我存在，即“我思故我在”，否认自己的存在是自相矛盾的。
41、具体说来，「故」不表示在逻辑上由已知推出未知，由「我思」推论出「我在」，不表示因果关系，它只表示一种必然联系，我思和我在是同一的。
42、所以我思故我在的正确理解是：我思，我在——我是一个思考的东西，我存在。
43、也就是说，“我思”这个阿基米德点具有个体性和当下性，知识大厦的出发点是个体的当下经验。当然，笛卡尔所要做的是，从这种个体的当下经验中获取某种超个体、超时间的普遍性，然而，在赢获普遍性之前，我们必须接受第一原理的这种特殊性。笛卡尔克服这种特殊性的方法是：(1)把“我们”看作“我”的集合，把他者看作另一个拥有理性的“我”，(2)把时间看作一个个“当下”的集合，把过去和未来看作较早的“当下”和较迟的“当下”。
44、笛卡尔接着说，不过，总还有我不能怀疑的事情。如果我真的不存在，再狡猾的恶魔也无法欺骗我。我可能不具有肉体，或者我的肉体只是错觉。然而，思维这件事就不一样了——“当我要把一切事物都想成是虚假的时候，这个进行思维的‘我’必然非是某种东西不可；我认识到‘我思故我在’这条真理十分牢靠、十分确实，怀疑论者的所有最狂妄的假定都无法把它推翻，于是我断定我能够毫不犹疑地承认它是我所探求的哲学中的第一原理。”笛卡尔的“我思故我在(cogito ergo sum)”，也被通称为笛卡尔的“cogito(我思)”；推导出这个论点的方法，叫“笛卡尔式怀疑”。其实，笛卡尔的“cogito”概念，来自4世纪圣奥古斯丁，就是写了《忏悔录》的那位。在这位被基督教称为圣人的宗教思想家那里，“cogito”不是一个很重要的概念，但在笛卡尔这里，则是他一切哲学的基石。 (脑的活动，存在双通路，腹侧负责感知；背侧负责视觉-运动控制)
45、英国哲学家吉尔伯特·莱尔将笛卡尔建立的身体/灵魂的二元论模型称为“机器中的幽灵”。
46、必须将每个问题分成若干个简单的部分来处理；
47、笛卡尔想说的是，“存在”是由“思想”所决定的。如果我们把思想(cogito)进一步理解为表象(Vorstellen)，那么，笛卡尔在此所做的，就是，将存在规定为被表象存在(Vorgestelltsein)。换句话说，存在被限定在被表象存在之中，真正的存在倒是被遗忘了。在这个意义上，笛卡尔作为近代形而上学的第一人，就被海德格尔划入了“存在之遗忘”的形而上学谱系之中。
48、即使一切是如此的真实，我隔着碗感觉到粥传到手里的热气，妻细小的声音在我的耳边徘徊，但是我仍然不敢肯定我所面对的这些是真实的。因为这样相似的情况也曾经出现在我的梦中，即使我在梦中醒来又凭何证明自己不是在另一个梦里呢！
49、笛卡儿符号法则首先由笛卡儿在他的作品《LaGéométrie》中描述，是一个用于确定多项式的正根或负根的个数的方法。
50、至于我，我从来没有自负自己的心智有丝毫比一般人的心智更加完善的地方，甚至于我还常常希望自己具有同某些别的人一样敏捷的思想，或者一样清楚明晰的想象力，或者一样广阔或一样生动的记忆力。除了这些性质以外，我不知道还有什么别的性质可以用来使心智完善;因为说到理性或者良知，既然它是唯一使我们成为人并且使我们与禽兽有区别的东西，所以我很愿意认为它在每一个人身上都是完整的，并且愿意在这一方面遵从哲学家们的共同意见，他们说:同一个种类的各个个体，只是在所具有的偶然性方面可以有多一些或少一些的差别，它们所具有的形式或本性则并无多少差别。
51、笛卡尔证明了真实世界的存在，他认为宇宙中共有2个不同的实体，既思考(心灵)和外在世界(物质)，两者本体都来自于上帝，而上帝是独立存在的。