描述：数学的由来 1、 或许这就是数学的意义，提出问题胜过解决问题，具备数学的思维，比拥有数学的结论更重要。 2、离开山洞，出门在外，整天面对的就是山峰、湖泊、河流、森林、
1、 或许这就是数学的意义，提出问题胜过解决问题，具备数学的思维，比拥有数学的结论更重要。
2、离开山洞，出门在外，整天面对的就是山峰、湖泊、河流、森林、荒漠等。原始人很难在一个地方长久居住下来。森林里的果实总有吃完的时候，飞禽和走兽更是得躲得远远的。如果发生大旱，他们最明智的选择就是“走为上”。他们跟自然界做的都是“一锤子买卖”。在陌生的环境里寻求生存的希望是他们经常温习的功课。(数学的由来)。
3、而进一步的发展，问题又出来了。数字太大了也没法刻，几百上千的，恐怕把所有动物骨头拿来都不够刻，费财又费力，那么自然就想到用一些简化后的记号来表示大一点的数。这就牵扯到进制的问题了，因为这样可以减少符号数，由于人有十根手指和十根脚趾头的缘故，十进制最终成为主流。但其间也出现过五进制、二进制、六十进制等不同的进制法，后来由于语言等方面的原因，十进制最终打败其他进制。不过也没有完全消除，比如六十进制在角度时间方面的继续存在。至于其中的详细过程，也许我们只能猜测，本人才疏学浅，这本书也无多大介绍。
4、具体的，有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：由逻辑、集合论(数学基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、以较近代的对于不确定性的研究(混沌、模糊数学)。
5、它的特点是从“1”到“9”每个数都有专字，现代数字就是由这一组数字演化而来。“0”这个数字是到了笈多王朝时期才出现，“0”由小圆点演化而来。
6、面积表示着平方的概念，如果是一块面积。平方就是二维了，就涉及到以后的坐标系，并直接暗含着直角坐标系。如果，一开始面积表示不是平方，而是现在讲的菱形，那么，菱形坐标系该怎么表示？
7、这些发现表明，动物确实有一种接近“数觉”的本能。换句话说，这种本能为人类和许多其他动物共同拥有。
8、史前人类对空间布局和空间关系的关注，可能源自美感以及对形式美的欣赏，这也正是激励今天数学家的动机。我们倾向于认为，至少在一些早期的几何学家，从事这项工作纯粹是为了数学研究所带来的乐趣，而不是把他当做一个实用的测量工具。——《数学史》
9、数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。
10、她虽然只活了40岁，但应该说是一位幸运儿，比大多数人在“数学丛林”里都走得深，最后还摘取了数学上的桂冠。
11、 据战国时成书的《庄子》记载，惠施曾提出“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”的观点．其中“大一”、“小一”可理解为无穷大，无穷小．这段话的意思是：大到没有外部，称为无穷大；小到没有内部，称为无穷小．书中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的著名命题，可以看作是对“小一”的发挥．一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下那一半的一半，如此不断地取下去，
12、公元500年前后，随着经济、文化以及佛教的兴起和发展，印度次大陆西北部的旁遮普地区的数学一直处于领先地位，起源于印度。
13、印度的学者又引出了作为零的符号。可以这么说，这些符号和表示方法是今天阿拉伯数字的老祖先了。
14、我们讲数学，讲“数”，数最先产生的是自然数，就是“8……”，一直往下数下去就是自然数。而后又加入了“0”，“0”和那些自然数，形成了最初的整数的概念(注：负数产生后，整数的概念中又加入了负整数)。再后来又出现了分数的概念，甚至还出现了小数的概念。分数的概念很简单，比如说妈妈烙了一个饼，家里有三个孩子，于是把这个饼分成三份，然后分给每个孩子，这时候就需要表述：每个孩子吃了多少呢？哦！一个孩子吃了三分之一。妈妈一想，还得给你们爸爸留一份，拿刀在这个饼上切了个“十字”，分成了四块。这时一块饼就变成四份了。而后妈妈再一想，我自己还没吃呢，就可以把这个饼分成五份。这里就涉及三分之四分之五分之一。从这里可以发现，一个整体要分成若干份，我们原来了解的整数的概念随着生产生活的发展逐渐不够用了，在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，于是就产生了分数的概念。
15、代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学”。可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的数学就是代数学。而数学作为一个研究“数”的学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一。几何学则是最早开始被人们研究的数学分支。
16、文化是什么时候把我们曾经的模糊本能(“量觉”)塑造成能精确识别数的能力(“精确的数量感”)的呢？确切时间目前还不清楚。人类处理数的最早证据来自南非莱邦博山脉的博德山洞。在那里，考古学家们发现了年龄为4万的有缺口的骨头，其中包括狒狒的腓骨，上面刻有29个痕迹。人类学家认为，这些痕迹表明，这块骨头类似原始人的“账目棒”，是用来辅助计数的。说明那个时候人类就已经学会有意识地用符号表达和操纵数目了。
17、目今，人类已经建立了一座巨大的数学金字塔。在过去5千年左右的时间里，数学已经扩张到更加抽象的领域，似乎进一步脱离了周围的现实世界和普通人的理解范围。
18、数学起源于公元前4世纪。公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究。这一时期在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区发展起来的数学，主要是计数、初等算术与算法，几何学则可以看作是应用算术。
19、数学逻辑的早期定义是本杰明·皮尔士(BenjaminPeirce)的“得出必要结论的科学”(1870)。在PrincipiaMathematica，BertrandRussell和AlfredNorthWhitehead提出了被称为逻辑主义的哲学程序，并试图证明所有的数学概念，陈述和原则都可以用符号逻辑来定义和证明。数学的逻辑学定义是罗素的“所有数学是符号逻辑”(1903)。
20、其实呢，最开始借助的都是长乘宽。用长和宽相乘，用方的东西，不管是正方的，还是长方的，用一个方的东西定义了面积。但是以后即使不是方的，我也借助于方的来表达。所以，很多东西不是从来就是这样的。如果我们善于从哲学角度想问题的话，你将会发现，在这里不自觉的有这样一个坐标关系。借助于一个直角坐标关系。那就是说，说明这个角是直角。你这么定义面积。大家再想想，人类还可以换多种方式定义面积。比如说，现在的坐标轴都是这样的一个角度的坐标轴，不是90°，而是60°，60°的坐标的话，我仍然可以建立坐标，那么我仍然可以用60°的坐标这种关系建立面积的概念。如果人类最开始定义面积，用这种60°角(的坐标)来定义面积，那么你们可以想象，我们今天的数学就不是今天这个样子。所以数学它最后形成的形式，跟你最开始的定义方式是密切相连的。我们到了大学，让我们做这样一个不定积分，(sinx/x)的不定积分，觉得这个东西太难了。那么这个不定积分原函数我们在数学上怎么回答？原函数是存在的，但是我们不知道他如何表达，因此我们就说这个不定积分现在没有。事实上，我们后来真的学了积分之后，我们发现要描述它非常容易。为什么呢？因为我们只要在一个很小的范围内，我们把sinx进行泰勒展开。发现它就是这么一个关系，你只要把x跟它每一个除一下，它就变成了。我们发现把这个原函数找到，并且算一下计算就比较简单。我们只要找到了它，对它进行积分，就是一个幂函数积分，积出来还是个级数，非常简单。一个用积分表达，计算起来也并不复杂的东西，为什么我们通常表述就那么难呢？这就说明我们今天的数学是沿着一特定的思路来定义下来的，来演绎下来的。假如说现在我们定义面积，我们是按60°定义或者按30°来定义而不是按90°来定义的话，这个时候，你重新算sinx/x这个积分的时候，可能一下子积出来，这是个非常简单的东西。而现在我们非常简单的东西，那个时候就有可能变得非常复杂的东西。我们有些从事数学的人，在一些具体问题上能够取得一定的成就，但是可以说，仍然处在一个“小家”的水平上，不能称之为大家。问题就在于他们并不能够用开阔的思想来思考数学，他们不知道数学为什么是这个形式，他们不知道数学未来将会是什么形式，他们不知道数学未来将怎样发生革命。像牛顿、莱布尼兹、庞加莱、克莱因等大数学家，他们都是有很深的数学史、数学哲学功底的。
21、西来的希腊文化和东来的印度文化都汇集到这里来了，阿拉伯人将两种文化理解消化，从而创造了独自的阿拉伯文化。 在公元750年后的一年，有一位印度的天文学家拜访了巴格达王宫。他带来了印度制作的天文表，并把它献给了当时的国王。
22、 数概念产生之后，原始记数法便随之出现了．《易经》上说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契．”三国时吴人虞翮在《易九家义》中也说：“事大，大结其绳；事小，小结其绳，结之多少，随物众寡．”这些记载表明，结绳记数是原始社会普遍使用的一种记数方法．刻划记数是比结绳记数进步的一种记数法，也产生于原始社会．人们在竹、木或骨片上面刻出一个个小口，表示一定的数目，这大概就是《易经》所说的契．例如1975年在青海乐都出土的原始社会末期遗物中，有40件带有三角形小口的骨片(图3)，这些小口便是用来记数的．
23、西方人由于首先接触到阿拉伯人使用过这些数据，便误以为是他们发明的，所以便将这些数字称为阿拉伯数字，造成了这一历史的误会。
24、代数理论的另外一个例子是线性代数，它对其元素具有数量和方向性的向量空间做出了一般性的研究．这些现象表明了原来被认为不相关的几何和代数实际上具有强力的相关性．组合数学研究列举满足给定结构的数对象的方法．
25、 《墨经》中还有一条重要记载：“小故，有之不必然，无之必不然．大故，有之必然．”用现代语言说，大故是“充分条件”而小故则是“必要条件．”大故和小故的区分，在哲学史和数学史上都是十分重要的事件．
26、后来，随着在世界各地的普遍传播，大家都都认同了“阿拉伯数字”这个说法，使世界上很多地方的人都误认为是阿拉伯人发明的数字，实际上是阿拉伯人最早开始广泛使用数字。
27、从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。
28、那现实生活中为什么要产生乘法呢？我们可以想一想，如果我们要一些东西加起来，比如3+3+3+3+3；使用加法很容易得到3+3+3+3+3=能得到对应的结果。假如有五十个“3”相加呢，那我们需要3+3+3+……，这样太麻烦了。为了简化起见，人们用一种新的方式来表达它，也就是“5*3=15”。同理，除法是怎么产生的呢？一个数按照相等的关系能减出来多少倍，比如十除以三等于三余意思就是十按照三个等分这么分的话，只能分出三个等分来，最后剩下一等分。
29、 可惜的是，随着墨家的衰落，墨家数学理论在形成体系之前便夭折了．
30、已知最古老的数学工具是发现于斯威士兰莱邦博山的莱邦博骨，大约是公元前35,000年的遗物。它是一支狒狒的腓骨，上面被刻意切割出29个不同的缺口，使用计数妇女及跟踪妇女的月经周期。相似的史前遗物也在非洲和法国出土，大约有35,000至20,000年之久，都与量化时间有关。发现于尼罗河上源之一的爱德华湖西北岸伊香苟地区(位于刚果民主共和国东北部)，或许有20000年甚至更久，则刻有三组一系列的条纹符号，每列和骨头等长。常见的解释是已知最早的质数序列，亦有认为是代表六个阴历月的纪录。学者彼得·鲁德曼否认素数序列的解释，他认为素数的概念只能出现在除法之后，而他认定除法是在公元前1000年后才出现的，因此在公元500年以前，素数是不太可能被理解的。他写道，“一个计数符号之类的东西为什么要展示2的倍数，10到20之间的素数，和一些几乎是10的倍数，这是没人尝试解释过的”。而根据学者亚历山大·马沙克(英语：AlexanderMarshack)的说法，这个骨头可能影响了随后埃及数学的发展。因为埃及算术就像这块骨头一样，也使用了2的倍数，然而，这也是有争议的。
31、西方人由于首先接触到阿拉伯人使用过这些数据，便误以为是他们发明的，所以便将这些数字称为阿拉伯数字，造成了这一历史的误会。
32、数学起源于公元前4世纪。公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究。这一时期在古埃及、巴比伦、印度与中国等地区发展起来的数学，主要是计数、初等算术与算法，几何学则可以看作是应用算术。
33、 在中国，《周髀算经》是第一部记载勾股定理的书．该书云：“求邪(斜)至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，
34、 (4)“圆，一中同长也”---到一个中心距离相同的图形叫圆．
35、除了御寒的兽皮、狩猎的木棍、盛水的器皿(那时还没有陶器，使用的多是一些天然的东西)，他们几乎没有别的财产，更没有私有财产。这么简单的生活，当然用不到多少数学知识，即使是简单的手指计数也很少用到。
36、数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。
37、但是，不管我们从哪一套公理出发，数学可能不像我们所以为的那样是一套完整的思想体系。对于这一点，我们要归功于奥地利逻辑学家哥德尔的不完备性定理所提供的洞见。哥德尔证明，在任何形式的公理和定理体系里，有一些既不能证明对，也不能证明错的陈述。换句话说，有些问题数学可以问，但它永远无法回答。像欧几里得几何中的“平行线永不相交”就是一例，欧几里得几何体系自身无法提供证明。我们只能说：“暂且假设它是对的，来看看会推出什么结果……”
38、所以我推测，数字的起源和发展更多的是由于要用到它。而在对几何的起源上，自古以来许多科学家大致认为有两种可能，这也分别是古希腊时期的希罗多德和亚里士多德持有的两种相反观点。希罗多德认为，几何学起源于埃及，因为埃及人必须在每年的河流泛滥后重新测量土地，这种实际需要导致了几何的产生‘亚里士多德认为，由于埃及人存在着一个像神职人员一样的有闲阶级，才激励了几何学的探索研究。这两种是相反的观点，一方面可以认为几何起源于实际需要，一方面认为它起源于闲暇的宗教仪式。也有可能两者兼有吧！但我们能明确一点，不管是希罗多德还是亚里士多德，他们都低估了几何学产生的年代。对于几何学中的测量早在石器时代就已经有了，但也许正是“闲暇和宗教”与“实际需要”促使了几何学的系统发展。
39、 德国数学家莱布尼茨(G．W．Leibniz，1646---1716)发明二进制后不久，见到了传教士白晋(J．Bouvet，1656---1730)从中国寄去的八卦．莱布尼茨认为，八卦中蕴含着二进制思想，因此惊叹不已．实际上，若把“--”和“--”两种卦爻用1和0代替，八卦就可表示为
40、此外，即使教幼儿数数的动作，也不能立即传达数的意义，必须通过“量”的比较，他们才能掌握“数”的概念。这就怪不得幼儿园的老师教孩子数数，或者做加减运算，要辅以小木棍、小球之类的道具。
41、 同《庄子》一样，《墨经》中也讨论了分割物体的问题．但墨家反对物质的无限可分．他们认为，如果把一条线段分成前后两半(比如以左为前，以右为后)，保留前半而弃去后半(图4中OB)，再弃去前半的后半(即CO)，如此不断地分割和取舍，剩余部分小到不能再分为两半，就是端(A点)．如果采用前后取的办法，即第一次取线段前半，第二次取前半的后半，第三次取后半的前半，……取到最后，也会出现一个不可分割的端，这个端在线段中间而不在边缘(位于CO之间)，这就是《墨经》所云“前则中无为半，犹端也；前后取，则端中也”．很明显，这种思想与近代极限理论是相符的．数学分析中用区间套来限定数轴上一个实数点的方法与此类似．所以，我们可以把这种分割思想看作区间套原理的雏型，其中蕴含着“点是线段无限分割之极限”的思想．
42、随着我们现实中需要解决的数量关系越来越复杂，运算关系也变得越来越丰富，数的表现方式也变得越来越丰富。前面所说的有理数和无理数统称为实数，后来又有了虚数的概念。与整数、分数等不同的是，虚数不是在自然科学或技术方面的推动下产生的，而是产生于数学本身内部产生的抽象的数学体系，但在后来也产生了极有价值的应用。
43、还有研究显示，人类本能上具有在空间上通过虚构一条“数字线”，来表示数的倾向。比如说，我报给你一串数，请你在纸上记下。尽管我并没有吩咐你怎么去记，但你还是会按小的在左，大的在右的方式写下这些数，哪怕你是个左撇子也不例外。这是因为你在记数字时，会在纸面上不自觉地虚构一条“数字线”；在这条线上，数值从左到右要按从小到大的顺序排列。这是一种本能。
44、 000(坤)001(震)010(坎)011(兑)
45、想想古希腊数学家欧几里德编纂的《几何原本》，它搜集了古希腊所有的数学知识，并编纂了一条条几何定律。欧几里德把他的工作建立在一系列公理之上。这些公理既不能证明，也不能证伪，我们只能说它们是“被发明的”。其中最著名的一条就是“平行线公理”：两条平行线永不相交。随着时间的推移，从这些公理中衍生出很多的规则和关系，并被后人证明为定理。从某种意义上说，他们是“发现”了欧几里德几何学的景观。
46、在几何学方面，公元前五千年的古埃及前王朝时期即已出现用图画表示的几何图案。也有人声称，年代大约是公元前三千年的英格兰和苏格兰地区的巨石文化遗址中，也发现了融入几何观念的设计，包括圆形、椭圆形和毕达哥拉斯三元数。然而上述发现也全部有争议，而目前最早的无争议的数学史料当前依然是来自古巴比伦和古埃及史后的。
47、第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。